【Python】ディープラーニングの基本「パーセプトロン」とは？

2025年4月6日2025年4月7日

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今回は、ディープラーニングの基本である「パーセプトロン」について解説します。

パーセプトロンはディープラーニングの起源となっているため、パーセプトロンの仕組みを理解することは、これからディープラーニングを学ぶ上で重要になります。

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パーセプトロンとは

パーセプトロンは、1950〜60年代にフランク・ローゼンブラットによって提案されたアルゴリズムです。

パーセプトロンは、複数の入力に対し、2値(0 or 1)を出力します。

各入力に重みをかけ、合計がある閾値を超えるかどうかで出力を決定します。

式にすると以下の通りです。

\[ y = \begin{cases}0 & w_1 x_1 +w_2 x_2 < \theta \\1 & w_1 x_1 +w_2 x_2 \geq \theta\end{cases} \]

\(x\) : 入力
\(w\) : 重み
\(\theta\) : 閾値
\(y\) : 出力

上記式の\(\theta\)を\(-b\)に置き換えると以下の式に変更できます。

\[ y = \begin{cases}0 & w_1 x_1 +w_2 x_2 + b < 0 \\1 & w_1 x_1 +w_2 x_2 + b \geq0\end{cases} \]

\(b\) : バイアス

入力値と重みをかけた値とバイアスの和が0未満であれば0を出力し、0以上であれば1を出力します。

Python実践パーセプトロン

論理回路を使用しパーセプトロンを実装してみましょう！

AND回路

まずはAND回路を実装してみます。

AND回路の入力と出力の関係は以下の通りです。

入力		出力
0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	1

この関係をPythonを使用し、出力します。

x1 = [0, 1, 0, 1]
x2 = [0, 0, 1, 1]

# AND回路
def AND(x1, x2):
    x = np.array([x1, x2])
    w = np.array([0.5, 0.5])
    b = -0.8
    tmp = np.sum(w*x) + b
    if (tmp <= 0):
        return 0
    else:
        return 1

# 論理回路を出力値を出力する関数
def result(func):
    for i in range(4):
        y = func(x1[i], x2[i])
        print(f"{x1[i]}, {x2[i]} = {y}")

# AND回路の出力結果を出力
result(AND)

実行結果

0, 0 = 0
1, 0 = 0
0, 1 = 0
1, 1 = 1

OR回路

続いて、OR回路を実装してみます！

OR回路の入力と出力の関係は以下の通りです。

入力		出力
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	1

この関係をPythonを使用し、出力します。

基本的にはAND回路と同様、バイアス\(b\) のみ異なります。

x1 = [0, 1, 0, 1]
x2 = [0, 0, 1, 1]

# OR回路
def OR(x1, x2):
    x = np.array([x1, x2])
    w = np.array([0.5, 0.5])
    b = -0.2
    tmp = np.sum(w*x) + b
    if (tmp <= 0):
        return 0
    else:
        return 1

# 論理回路を出力値を出力する関数
def result(func):
    for i in range(4):
        y = func(x1[i], x2[i])
        print(f"{x1[i]}, {x2[i]} = {y}")

# OR回路の出力結果を出力
result(OR)

実行結果

0, 0 = 0
1, 0 = 1
0, 1 = 1
1, 1 = 1

パーセプトロンの限界

パーセプトロンでバイアスや重みを変更し、出力を簡単に変えることできました。

ただし、パーセプトロンにも限界があり、パーセプトロンでは実現できない出力があります。

それがXOR回路などの「非線形」の問題です。非線形の出力は単純なパーセプトロンでは実現できません。

これを解決するためにこれから紹介する「多層パーセプトロン」が使用されます。

多層パーセプトロン

多層パーセプトロンは、パーセプトロンを多層化したもので、以下のように構成されています。

入力層
隠れ層
出力層

隠れ層がこれまでの単純なパーセプトロンにはなかった層になります。

層を増やすことにより、非線形の出力を実現できるのです。

Python実践多層パーセプトロン

Pythonを使用し、非線形の論理回路である「XOR回路」を実装してみましょう！

XOR回路

さっそくXOR回路を実装します。

XOR回路は「AND回路」、「OR回路」、「NAND回路」を組み合わせることで実現します。

入力		隠れ(OR)	隠れ(NAND)	出力(AND)
0	0	0	1	0
1	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	1	1	0	0

この関係をPythonを使用し、出力します。

AND/OR/NAND回路の関数を作成し、それらを組み合わせて出力します。

x1 = [0, 1, 0, 1]
x2 = [0, 0, 1, 1]

# AND回路
def AND(x1, x2):
    x = np.array([x1, x2])
    w = np.array([0.5, 0.5])
    b = -0.8
    tmp = np.sum(w*x) + b
    if (tmp <= 0):
        return 0
    else:
        return 1

# NAND回路
def NAND(x1, x2):
    x = np.array([x1, x2])
    w = np.array([-0.5, -0.5])
    b = 0.8
    tmp = np.sum(w*x) + b
    if (tmp <= 0):
        return 0
    else:
        return 1

# OR回路
def OR(x1, x2):
    x = np.array([x1, x2])
    w = np.array([0.5, 0.5])
    b = -0.2
    tmp = np.sum(w*x) + b
    if (tmp <= 0):
        return 0
    else:
        return 1

# XOR回路
def XOR(x1, x2):
    s1 = NAND(x1, x2)
    s2 = OR(x1, x2)
    y = AND(s1, s2)
    return y

# 論理回路を出力値を出力する関数
def result(func):
    for i in range(4):
        y = func(x1[i], x2[i])
        print(f"{x1[i]}, {x2[i]} = {y}")

# XOR回路の出力結果を出力
result(XOR)

実行結果